数学模型也可以像玩具一样好玩(记一个漂亮的马尔科夫链)

楼主本学期平均每周都要带一次概率论习题课，一次模电实验。呵呵，两门课，系里穷呀，拿一个研究生当两个用，还美其名曰“给你的是两个‘半助教’”。 言归正传，每次上课呢，我似乎都要强调一些老生常谈，比如说拜托來以前把电路搭好了，上课请不要迟到，拜托仔细看电路图，别忘了接电源线哦，亲，巴拉巴拉巴拉。。。 

我就想啊，每次我强调一次，我就影响的几个人，这几个人下次可能就不会犯低级错误；我再强调一次，又多几个人。那么我需要强调多少次，才能让每一个同学都知道我想表达的意思呢？ 

类似的问题在我们生活中还是能见到的，比如啊，我想写博文，做科普，我每写一篇博文，每个用户都有一定的几率接触到“贝叶斯”这个概念， 那我需要平均需要写多少篇博文才能让大家都知道“贝叶斯”？生物我不太懂，但是我揣测着，有没有可能每次喂点药，培养皿里每个细胞就以一定概率变性，那平均喂多少次药这个培养皿就只有变性的细胞了呢。昨天和隔壁实验室的沈喆兄讨论射频ID的问题:  每次我把带着扫描装置小车推过货架，每个物品都有一定几率被扫描到，那平均需要多少次才能得到每个货物的信息？ 

总之，就是有限数量个节点，每执行一次操作，每个节点都有一定几率发生不可逆的变化，那么平均需要多少次操作才能完成整个系统的变化？有一个类似但有本质区别的问题是：在执行M次操作之后，发生变化的节点数目是多少？由于第二个问题仅仅是几何分布加二项式分布，我就不写了。 

好啦，背景介绍结束，楼主开始建模了。

第一步，我们做一点假设，假设有N=3各节点，每个节点都是“不健康的”。每次操作之后，每个节点从“非健康节点”变成“健康节点”或“非健康节点”的概率分别是p和1-p，而“健康节点”不可能变成“非健康节点”。假设各个节点的变化都是独立的。 

第二步，定义随机变量X为系统的状态，表示“健康节点”在系统中的数目，。那么我们可以把该系统用下图中的马尔科夫链【1】【2】来表示：

Fig.1 描述本模型的马尔科夫链

其中表示从任意t时刻到t+1时刻的过程中，系统从i状态转换到j状态的转移概率。比如表示再执行此操作之前，系统有0个“健康节点”，而操作之后，系统变成有1个“健康节点”的概率，注意哦，这是仅仅一次操作。此处，不难推出，当，所有都服从二项式分布；当，所有。为了避免数学公式给阅读带来的不快，我就不写通式了。您就知道转移概率都很容易求就行了。最后，定义矩阵为该系统的转移概率矩阵。

第三步，我们想要知道的，是从0状态进化到3状态的平均时间。因为3状态是一个吸收状态（就是一旦到达3状态，就不可能再变到别的状态了）。上谷歌搜absorbing Markov chain。可以直接得到这类问题的解法，可惜是英文的【4】。为了方便参加数学建模比赛的大学生朋友， 楼主这就不是很严谨的给出平均时间的解法。定义为从i状态到3状态所花费的时间，定义为的数学期望，则我们有以下方程组（感谢S.C.同学）：

让我解释一下这几个式子，比如第一个，就表示因为从2状态只能到达3状态或者2状态,到达3状态就不需要再花费时间，到达2状态就还需要这么多的平均时间。第二个式子类似，1状态可以到达1状态，2状态，或者3状态。好啦好啦，有结果啦，三个方程三个未知数，可以解出来我们需要的。 用矩阵来表示：

其中是一个全部元素为1的列向量，是3乘以3的单位矩阵，是刨掉矩阵最后一行和最后一列后的分块矩阵，是由构成的列向量。我为什么要把方程总结成矩阵形式呢，因为本例中N=3，如果有更多的节点，那么用上面的那个矩阵，就可以很方便的拓展啦。

 辛苦辛苦，您读到这里想必已经有点累了吧，我这就进行总结。

1. 很遗憾，我想不出有什么简单的办法来求的分布。用递归的方法，我想是可以得到解析形式的。但考虑到解法的复杂性，其已经超出了科普的范畴。有兴趣的老师请帮我想一想，要是有结果，请您给我留言告诉我。 

2. 现实问题远远比数学模型复杂，楼主在这里加入了很多隐含的假设，以至于数学模型如此简单。但是我理解的数学建模是一个抓主要矛盾的过程，有些细枝末节不妨用假设将其忽略，否则模型有时候过于复杂反而得不到有意义的结果。当然，具体问题具体分析。 

3. 不一定对啊，我感觉建模有时候还是要建成自己能理解能解决的问题。本例中，楼主用马尔科夫链，还算是比较熟悉吧。 

4. 我觉得这个马尔科夫链比较有意思的是最后解平均时间的几个方程，虽然在熟悉随机过程的朋友看来，根本不值一提，我还是斗胆把它展示出来。因为我想有些大学生朋友可能会用得到，比如参加数学建模比赛的电子系学生。 

5. 我没有完全分析这个问题，至少还可以发散出类似“平均经过多少时间整个系统可以有一半变成健康的？”这种问题。

6. 有时候觉得贝叶斯定理，马尔科夫链这些小模型就跟玩具一样，似乎生活中随处可见呀。

后记: 我本科的时候参加过数学建模比赛，当时深感中文的科普资料不多，百度百科的专业词条有时候并不准确。比如均方误差现在还是错的【3】，我很认真的给它改过，编辑没让我通过，说我夹杂广告。而我实际上只是有一条参考文献是一本书。我后来写电邮和他们争辩，他们不理我，于是我不开心，于是我再也不写百度百科了。

 后来我上研究生，我看wiki上有些词条日文的解释都比中文的多，而我们有十倍于他们的人口。想象我是一名大一的化学专业学生，我想了解“马尔科夫链”，似乎除了看书，我很难在网络上学到这一概念，因为写科普的老师不多。但是，我看书看不懂。当然，我英语要是够好，我可以阅读老美写的很多很多的类似博文的“brief introduction on 什么什么”。 

我要非常非常感谢S.C.同学，我从上初一就开始问你数学题，真是太谢谢你了。

【1】马小洪 老师的博客：http://blog.sciencenet.cn/blog-560320-714691.html

【2】百度百科词条：http://baike.baidu.com/view/340221.htm

【3】wiki上关于均方误差的词条：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E5%B7%AE 

【4】 http://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain

本文来自王云龙科学网博客。
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